Согласно ст 56 ГПК РФ
1. Каждая сторона должна доказать те обстоятельства, на которые она ссылается как на основания своих требований и возражений, если иное не предусмотрено федеральным
законом.
2. Суд определяет, какие обстоятельства имеют значение для дела, какой стороне надлежит их доказывать, выносит обстоятельства на обсуждение, даже если стороны на какие-либо из них не ссылались.
Законодательством предусмотрено правило о том, что никакое доказательство, полученное с нарушением установленного порядка, не имеет юридической силы и не может быть положено в основу решения суда.
Например, суд не может считать доказанными обстоятельства, подтверждаемые только копией документа или иного письменного доказательства, если утрачен и не передан суду оригинал документа, и представленные каждой из спорящих сторон копии этого документа не тождественны между собой, и невозможно установить подлинное содержание оригинала документа с помощью других доказательств (ч. 7 ст. 67 ГПК РФ).
Согласно ст. 59 ГПК РФ суд принимает только те доказательства, которые имеют значение для рассмотрения и разрешения дела (относимые доказательства). Соответственно в случае, когда суд приходит к выводу о том, что доказательство не относится к делу, он его не принимает и не исследует.
Так что "без базара" не получится и доказывать наличие вклада по конкретным условиям, это ваша обязанность, а не банка.
В целом, я так понимаю, текущие вкладчики банка, это люди которые дают банку деньги под честное слово.